Logikgatter

Rückblick STP001: Binärzahlen sind dargestellt als Folge von Bits

• z.B. 16-Bit-Zahl entspricht 16 Stromleitungen, an denen die Spannung an oder aus ist

Ziel: Berechnungen auf solchen Zahlen

• z.B. Addition zweiter 16-Bit-Zahlen: 2x16 = 32 Bit gehen rein, 16 neue Bit kommen raus
• Wie kombiniert man Bits sinnfällig?
• Logikgatter: Bausteine für solche Schaltkreise
  • allgemein ein oder zwei Eingänge und ein Ausgang
  • ansonsten Logikschaltung bzw. Logikbaustein, der aus mehreren Gattern zusammengesetzt ist

Logikgatter mit einem Eingang und einem Ausgang

• Gatter unterscheiden sich in der Ausgabe bei Eingabe 0 (2 Optionen) und in der Ausgabe bei Eingabe 1 (2 Optionen)
• insgesamt 2x2 = 4 mögliche Gatter
  • 0 -> 0, 1 -> 0 -- Ausgang ist konstant Null (langweilig)
  • 0 -> 0, 1 -> 1 -- Ausgang ist gleich Eingang (langweilig)
  • 0 -> 1, 1 -> 0 -- Ausgang ist Negation des Eingangs (NOT-Gatter)
  • 0 -> 1, 1 -> 1 -- Ausgang ist konstant Eins (langweilig)

Logikgatter mit zwei Eingängen und einem Ausgang

• vier mögliche Eingaben (00, 01, 10, 11) und je zwei mögliche Ausgaben (0, 1) -> 2^4=16 mögliche Gatter
• darunter sechs langweilige Gatter
  • Ausgang ist konstant Null
  • Ausgang ist konstant Eins
  • Ausgang ist gleich Eingang 1
  • Ausgang ist gleich Eingang 2
  • Ausgang ist Negation von Eingang 1
  • Ausgang ist Negation von Eingang 2
• sechs nützliche Gatter Logikgatter
  • AND: Sind beide Eingänge 1?
  • OR: Ist wenigstens ein Eingang 1?
  • XOR: Ist genau ein Eingang 1? bzw. Sind beide Eingänge unterschiedlich?
  • NAND: Ist wenigstens ein Eingang 0?
  • NOR: Sind beide Eingänge 0?
  • NXOR, XNOR: Sind beide Eingänge gleich?
• vier verbleibende Gatter sind nicht so intuitiv, können aber bei Bedarf aus den obigen Gattern zusammengesetzt werden

Beispiel für eine Logikschaltung: Addiernetz

• Idee analog zum Addieren auf Papier wie in der Grundschule mit Übertrag
  • Beispiel hier: 35 + 47 = 82
• Halbaddierer: zwei Eingänge, zwei Ausgänge
  • Zwei Ein-Bit-Zahlen werden zu einer Zwei-Bit-Zahl addiert.
  • Ausgang 1 = XOR (erste Stelle der addierten Zahl)
  • Ausgang 2 = AND (zweite Stelle der addierten Zahl)
  • z.B. bei dezimal: 5 + 7 = 2 + Übertrag 1
  • in binär: Ausgang 1 = XOR, Ausgang 2 = AND
• Volladdierer: drei Eingänge, zwei Ausgänge
  • Wie der Halbaddierer, aber nimmt auch den Übertrag der vorherigen Stelle mit.
  • z.B. bei dezimal: 3 + 4 + Übertrag 1 = 8 + Übertrag 0
• Addiernetz für N-Bit-Zahlen: 2N Eingänge, N Ausgänge
  • ein Halbaddierer für die erste Stelle
  • je ein Volladdierer für jede weitere Stelle
  • Überlauf: Was ist, wenn der finale Übertrag nicht 0 ist?
    • Option 1: als Zustand im Prozessor speichern, der später abgefragt werden kann
    • Option 2: als Fehler behandeln, Prozess oder Prozessor anhalten

Warum sind Logikgatter interessant?

• starke Abstraktionsebene: fast das gesamte Verhalten des Computers als Rechenmaschine ist aus Logikgattern zusammengesetzt
• konkrete Hardware (z.B. konkrete Art von Transistoren) ist oberhalb der Ebene der Logikgatter fast unerheblich
• aber natürlich: keine Abstraktion ist perfekt...
• Beispiel: Schaltverzögerung -> Takt